prime-number: ЛУЧ12: Каталог по темам

воскресенье, 12 октября 2008 г.

ЛУЧ12: Каталог по темам

Каталог по темам

ЗАДАЧИ
problems.ru

Проект МЦНМО
при участии
школы 57

Тема: Все темы >> Математический анализ >> Числовые последовательности >> Число e

Фильтр

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 4]

Задача 60873

Темы:	[	Число e	]
Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Иррациональность числа e. Число e определяется равенством e = $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ $\left(\vphantom{1+\dfrac1n}\right.$ 1 + ${\dfrac{1}{n}}$ $\left.\vphantom{1+\dfrac1n}\right)^{n}_{}$ . Докажите, что
а) e = $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ $\left(\vphantom{ 2+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\ldots+\dfrac1{n!}}\right.$ 2 + ${\dfrac{1}{2!}}$ + ${\dfrac{1}{3!}}$ +...+ ${\dfrac{1}{n!}}$ $\left.\vphantom{ 2+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\ldots+\dfrac1{n!}}\right)$ ;

б) e = 2 + ${\dfrac{1}{2!}}$ + ${\dfrac{1}{3!}}$ +...+ ${\dfrac{1}{n!}}$ + r_n, где 0 < r_n $\leqslant$ ${\dfrac{1}{n!\,n}}$ ;

в) e — иррациональное число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61115

Темы:	[	Комплексная экспонента	]
	[	Число e	]
	[	Предел функции	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Формула Эйлера. Пусть a и b — действительные числа. Определим показательную функцию на множестве комплексных чисел равенством

e^{a + ib} = $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$ $\displaystyle \left(\vphantom{1+\dfrac{a+ib}n}\right.$ 1 + $\displaystyle {\dfrac{a+ib}{n}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1+\dfrac{a+ib}n}\right)^{n}_{}$ .

Докажите формулу Эйлера:

e^{a + ib} = e^a(cos b + i sin b).

Докажите, что функции sin x и cos x допускают следующее представление через комплексную экспоненту:

cos x = $\displaystyle {\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$ , sin x = $\displaystyle {\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 76475

Темы:	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]
	[	Число e	]
	[	Произведения и факториалы	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Что больше: 300! или 100³⁰⁰?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60874

[Число <i>e</i> и комбинаторика]

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Число e	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из k цветов. Докажите, что если N > [k!e], то среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет.